从傅里叶变换到小波分析：深入理解信号处理的核心技术

在信号处理领域，傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波分析是三个至关重要的工具。它们在处理和分析信号时各自发挥着不可替代的作用。这篇文章将带领您从傅里叶变换出发，逐步深入到短时傅里叶变换，最后到达小波分析，通过具体的MATLAB代码示例，让您轻松理解这些概念。
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。通过傅里叶变换，我们可以查看信号中各个频率分量的幅度和相位。在MATLAB中，我们可以使用快速傅里叶变换（FFT）函数来实现这一过程。

% 生成一个简单的正弦波信号
Fs = 1000; % 采样频率
t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 时间向量
x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); % 合成信号
% 计算傅里叶变换
y = fft(x);
% 绘制频谱图
P2 = abs(fftshift(y));
P1 = P2(1:length(y)/2+1);
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
f = Fs*(0:(length(y)/2))/length(y);
plot(f,P1)

短时傅里叶变换
然而，傅里叶变换的局限性在于它无法提供信号在时间上的局部信息。为了解决这个问题，我们引入了短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）。通过在时间轴上移动窗口并计算每个窗口内的频谱，STFT能够提供信号在时间和频率两个维度上的信息。在MATLAB中，我们可以使用spectrogram函数来实现STFT。

% 计算短时傅里叶变换
[S,F,T,P] = spectrogram(x,hamming(512),512,Fs,'yaxis');
% 绘制时频图
imagesc(T,F,abs(S))
xlabel('Time (s)')
ylabel('Frequency (Hz)')

小波分析
尽管STFT能够提供时间和频率的局部信息，但它对于非平稳信号的处理能力仍然有限。这时，我们可以引入小波分析。小波分析是一种时间和频率的局部化分析方法，适用于处理非平稳信号。在MATLAB中，我们可以使用wavelet函数来实现小波变换。

% 计算小波变换
c = wavedec(x,'db4'); % 使用'db4'小波进行分解
csca = waverec(c,'db4'); % 重建信号
% 绘制小波系数图谱
imagesc(t,csca)
xlabel('Time')
ylabel('Amplitude')

通过以上示例代码，我们可以看到傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波分析在处理和分析信号时的应用。傅里叶变换主要适用于分析整个信号的频谱；短时傅里叶变换可以提供时间和频率的局部信息；而小波分析则更适合处理非平稳信号，能够在时间和频率两个维度上对信号进行局部化分析。在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的工具来处理和分析信号。