机器学习（七）：线性判别分析（LDA)

在机器学习中，线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的监督学习算法，主要用于解决分类问题。它的基本思想是：通过投影将原始特征转换到低维空间，使得同类样本尽可能接近，异类样本尽可能远离。

LDA的原理是基于Fisher线性判别准则，寻找一个投影方向使得数据在该方向上投影后，同类样本尽可能接近，异类样本尽可能远离。具体来说，LDA的目标是找到一个投影向量w，使得投影后的两类数据之间的类间散度矩阵Swb最大，同时投影后的同类数据之间的类内散度矩阵Sww最小。

求解LDA的问题可以通过优化目标函数来实现。目标函数通常定义为Swb和Sww的比值，并使用梯度下降法或迭代法来求解最优的w。求解得到w后，可以将新的样本投影到这个方向上，根据投影点的位置来确定新样本的类别。

将LDA推广到多分类问题可以通过将多分类问题分解为多个二分类问题来处理。具体来说，可以使用一对多（one-vs-all）或一对一（one-vs-one）的方法将多分类问题转换为多个二分类问题，然后对每个二分类问题应用LDA算法。

LDA算法流程如下：

1. 计算训练样本的类均值向量和类内散度矩阵Sww。
2. 计算类间散度矩阵Swb。
3. 计算Swb和Sww的比值，并使用优化算法求解最优的投影向量w。
4. 将训练样本投影到w上，得到训练样本的投影点。
5. 对于新的样本，将其投影到w上，根据投影点的位置确定新样本的类别。

LDA与PCA（Principal Component Analysis）相比有一些不同之处。PCA的主要目标是找到一个投影方向，使得数据在该方向上投影后各维度的方差尽可能相等，从而去除数据的冗余信息。而LDA的主要目标是找到一个投影方向，使得数据在该方向上投影后同类样本尽可能接近，异类样本尽可能远离。因此，PCA是一种无监督的降维算法，而LDA是一种监督的降维算法。

在实际应用中，LDA和PCA各有其适用场景。如果目标是分类任务，并且特征之间存在一些关联性，那么LDA可能更适合。如果目标是去除数据中的冗余信息，并且各维度之间的方差尽可能相等，那么PCA可能更适合。

总的来说，线性判别分析（LDA）是一种非常有用的监督学习算法，可以用于解决分类问题。通过寻找最优的投影方向，LDA能够将数据降维到低维空间，使得同类样本尽可能接近，异类样本尽可能远离。在多分类问题中，可以将多分类问题分解为多个二分类问题进行处理。虽然LDA与PCA在目标上有所不同，但它们都是常用的降维算法，适用于不同的应用场景。