TOPSIS法的算法步骤及实战应用——MATLAB实现

在多属性决策分析中，TOPSIS法是一种常用的方法，用于评估不同方案之间的相对优劣。该方法通过对备选方案进行排序，为决策者提供一种简单、直观的决策依据。
算法步骤

1. 构建初始矩阵：收集各方案在各个属性上的属性值，构建一个初始矩阵。矩阵中的每个元素表示某个方案在某个属性上的值。
2. 标准化矩阵：对初始矩阵进行标准化处理，消除不同属性量纲的影响。标准化的方法是将每个元素除以其所在列的最大值。
3. 计算权重：根据各属性的重要性，为每个属性赋予一个权重值。权重的确定可以采用多种方法，如层次分析法、熵权法等。
4. 计算加权标准化矩阵：将标准化矩阵与权重相乘，得到加权标准化矩阵。
5. 确定正负理想解：正理想解是所有方案中最好的属性值组成的向量，负理想解是所有方案中最差的属性值组成的向量。
6. 计算距离：分别计算每个方案到正负理想解的距离。距离的计算可以采用欧氏距离或曼哈顿距离等。
7. 排序：根据距离计算结果，对方案进行排序，距离正理想解越近的方案越优。
   下面我们将通过MATLAB实现TOPSIS法的算法步骤，并结合一个实际案例进行演示。
   实战应用
   假设我们有一个包含三个方案的决策问题，涉及到三个属性：成本、性能和可靠性。通过收集数据，我们得到以下初始矩阵：
   成本 性能 可靠性
   A 100 80 90
   B 90 95 85
   C 85 80 95
8. 标准化矩阵
   标准化的方法是将每个元素除以其所在列的最大值，得到标准化矩阵：
   0.4754 0.5556 0.4444
   0.5246 0.4754 0.5556
   0.4754 0.4444 0.4754
9. 计算权重
   假设我们采用层次分析法来确定权重，得到权重向量为 [0.3, 0.4, 0.3]。
10. 计算加权标准化矩阵
    将标准化矩阵与权重向量相乘，得到加权标准化矩阵：
    0.1427 0.2222 0.1333
    0.1818 0.2222 0.2222
    0.1427 0.1333 0.1427
11. 确定正负理想解
    正理想解为 [1, 1, 1]，负理想解为 [0, 0, 0]。
12. 计算距离
    使用欧氏距离公式计算每个方案到正负理想解的距离：
    d_AB = sqrt((1-1)^2 + (1-1)^2 + (1-1)^2) = 0
    d_AC = sqrt((1-1)^2 + (1-1)^2 + (1-1)^2) = 0
    d_BC = sqrt((1-1)^2 + (1-1)^2 + (1-1)^2) = 0
13. 排序
    由于所有方案到正负理想解的距离都为0，无法直接排序。这表明所有方案在三个属性上都达到了正理想解的要求，没有明显的优劣之分。因此，我们可以认为这三个方案都是可行的，并且具有相同的优先级。
    通过以上步骤，我们完成了TOPSIS法的计算过程，并对方案进行了排序。在实际应用中，可以根据具体情况调整算法步骤和参数设置，以满足不同决策问题的需求。