混合整数二次规划 (MIQP) 投资组合优化问题详解与实现

在投资组合优化问题中，投资者通常需要在风险和回报之间取得平衡。混合整数二次规划（MIQP）是一种强大的数学优化工具，可用于解决此类问题。MIQP结合了整数规划和二次规划的特性，能够处理具有连续和离散决策变量的优化问题。
MIQP在投资组合优化中的应用
投资组合优化问题通常涉及选择一组资产，以最小化风险或最大化回报。通过使用MIQP，可以找到在给定约束条件下的最优投资组合。MIQP模型可以表示为以下形式：

minimize: f(x) = x'Qx + c'x
subject to: A x <= b, x >= 0, x is integer

其中，x是决策变量，表示投资组合中各资产的比例；Q是协方差矩阵；c是常数向量；A和b是给定的约束条件。
Matlab实现示例
Matlab提供了内置的优化工具箱，可用于解决MIQP问题。下面是一个简单的示例，演示如何使用Matlab解决投资组合优化问题：

% 导入优化工具箱
import optimset
% 定义变量和参数
n = 3; % 资产数量
Q = [1 0.5; 0.5 1]; % 协方差矩阵
c = [0.1; 0.2]; % 常数向量
A = []; % 约束条件矩阵
b = []; % 约束条件向量
% 创建MIQP问题
prob = optimproblem;
prob.Objective.NumExpr = 'x' * Q * x + c' * x;
prob.Objective.SDT = 'min';
prob.Constraints.Aeq = []; % 等式约束条件
prob.Constraints.beq = []; % 等式约束条件右侧值
prob.Constraints.lb = zeros(n, 1); % 下界约束条件
prob.Constraints.ub = []; % 上界约束条件
prob.Variables.vtype = 'C'; % 连续变量
prob.Variables.lb = zeros(n, 1); % 变量下界约束条件
prob.Variables.ub = []; % 变量上界约束条件
prob.Variables.integer = true; % 整数约束条件
% 解决MIQP问题
sol = solve(prob);
% 输出结果
disp(sol.x); % 投资组合权重

Python实现示例（使用SciPy库）
Python的SciPy库也提供了求解MIQP问题的能力。下面是一个使用SciPy解决投资组合优化问题的示例：
首先，确保已安装SciPy库。如果尚未安装，可以使用以下命令进行安装：

pip install scipy numpy

接下来，使用以下代码解决投资组合优化问题：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar, Bounds
from scipy import special as sps
import matplotlib.pyplot as plt