逻辑回归：原理、公式及损失函数详解

逻辑回归是机器学习中一种常见的分类算法，它以线性回归为基础，通过添加sigmoid非线性激活函数，将线性回归的输出转化为概率形式，从而实现对二分类问题的预测。下面我们将从逻辑回归的原理、公式推导以及损失函数三个方面进行详细解释。
一、逻辑回归的原理
逻辑回归的基本思想是将线性回归的结果通过sigmoid函数转换，以得到概率形式的结果。sigmoid函数可以将任何实数映射到(0,1)区间内，从而表示某一事件发生的概率。具体来说，对于输入特征x，逻辑回归模型通过以下公式进行计算：
f(x) = sigmoid(wx + b)
其中，w和b分别为权重和偏置，它们是通过训练数据进行学习的参数。通过调整w和b，我们可以得到一个在(0,1)区间的概率值，表示某一类事件发生的概率。
二、逻辑回归的公式推导
在公式推导之前，我们需要明确一点：逻辑回归实际上是执行了一次线性拟合，然后再通过sigmoid函数进行非线性转换。不同于线性回归中明确区分权重系数w和偏置b，逻辑回归中为了简化计算，通常将b包含在w内，统一写作f(x)=wx的形式。
接下来我们进行公式推导：

1. 首先我们定义线性模型的输出为z = wx + b。
2. 然后我们将z通过sigmoid函数转换为概率形式：p = sigmoid(z)。
3. 定义损失函数为交叉熵损失函数，其形式如下：L = -[ylog(p) + (1-y)log(1-p)]。其中，y为真实标签值，取值为0或1。
4. 对损失函数L关于w和b求导，并使用梯度下降法进行参数优化。
5. 通过不断迭代更新参数w和b，最终使得损失函数L达到最小值，得到最优的模型参数。
   三、逻辑回归的损失函数
   在逻辑回归中，我们通常使用交叉熵损失函数来度量预测概率p与真实标签y之间的差异。交叉熵损失函数的定义如下：
   L = -[ylog(p) + (1-y)log(1-p)]
   其中，y为真实标签值，取值为0或1；p为模型预测的概率值。当y=0时，损失函数变为L = -log(1-p)；当y=1时，损失函数变为L = -log(p)。通过最小化交叉熵损失函数，我们可以使得模型预测的概率尽可能接近真实标签的概率。
   需要注意的是，在逻辑回归中我们使用的是交叉熵损失函数而不是平方差损失函数。这是因为当使用平方差损失函数时，参数的导数会携带sigmoid激活函数，这会导致梯度消失问题，使得参数更新的非常慢，难以得到最优解。而交叉熵损失函数的导数不会携带sigmoid激活函数，这样在参数更新时更容易得到最优解。
   总结：逻辑回归是一种基于线性回归的分类算法，通过添加sigmoid非线性激活函数将线性回归的输出转换为概率形式。在公式推导中，我们首先定义线性模型的输出，然后通过sigmoid函数将其转换为概率形式。在损失函数的选择上，我们通常使用交叉熵损失函数来度量预测概率与真实标签之间的差异。通过最小化交叉熵损失函数并使用梯度下降法进行参数优化，我们可以得到最优的模型参数，实现对二分类问题的准确预测。