最小费用最大流算法：Dinic与ZK-WR算法实战模板

最小费用最大流问题是一个经典的优化问题，旨在寻找一条从源点到汇点的最大流量路径，同时使得路径上的总费用最小。在计算机网络中，它可以应用于路由优化、负载均衡等问题；在交通运输领域，它可以用于解决物流配送、路线规划等问题。

本篇技术专栏将介绍两种流行的最小费用最大流算法：Dinic算法和ZK-WR算法。我们将通过实例演示它们的实现过程，并解释其中的关键概念和步骤。

一、Dinic算法

Dinic算法是一种基于增广路径的算法，其核心思想是利用BFS（广度优先搜索）来寻找增广路径，并通过限制每个节点的发送速率来避免循环。

1. 初始化：设置源点s和汇点t，初始化所有边的容量和费用。构建两个数组flow和price，分别表示当前流和剩余容量。
2. BFS搜索：从源点s开始，使用BFS搜索增广路径。在搜索过程中，记录每个节点的发送速率send[v]和接收速率recv[v]。
3. 增广路径：一旦找到增广路径，根据路径上的剩余容量和费用计算增广量。更新flow数组和边的剩余容量。
4. 更新速率：根据send和recv数组更新每个节点的发送和接收速率。
5. 重复步骤2-4：直到无法找到增广路径或达到预定的迭代次数。

二、ZK-WR算法

ZK-WR算法是一种基于最大流的预流推进算法，通过预流的概念来处理节点容量限制。

1. 初始化：设置源点s和汇点t，初始化所有边的容量和费用。构建预流数组f，表示当前预流值。
2. 寻找增广路径：从源点s开始，使用DFS（深度优先搜索）寻找增广路径。在搜索过程中，记录每个节点的前驱节点pre[v]。
3. 增广路径计算：根据增广路径上的容量和费用计算增广量。更新预流数组f和边的剩余容量。
4. 节点容量限制处理：对于每个节点v，如果f[v]大于当前速率recv[v]，则将预流值限制在速率范围内。
5. 重复步骤2-4：直到无法找到增广路径或达到预定的迭代次数。

在实际应用中，我们可以根据问题的规模和特点选择合适的算法。对于大规模问题，Dinic算法由于其高效的BFS搜索可能更有优势；而对于节点容量有限制的问题，ZK-WR算法可能更加适用。

下面我们通过一个简单的例子来演示这两种算法的实现过程。假设有一个有向图G(V, E)，边的容量和费用如下表所示：

边	容量	费用
s-a	10	1
a-b	5	2
b-c	3	3
c-t	4	1
s-b	6	2
b-t	2	1
s-c	7	3
c-t	2	2

我们将使用Python编程语言来实现这两种算法，并输出最小费用和最大流量。以下是代码示例：

# 省略代码实现细节，请参考相关教材或在线资源进行实现