匈牙利算法与Hopcroft-Karp算法：原理与实现

匈牙利算法（Hungarian Algorithm）和Hopcroft-Karp算法是两种广泛应用于解决分配问题的经典算法。这两种算法在计算机科学和运筹学中占有重要地位，被广泛应用于诸如作业调度、资源分配、网络流等问题。

一、匈牙利算法

匈牙利算法，也被称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决分配问题的经典方法。它可以在多项式时间内找到一个最优解，适用于诸如旅行商问题、工作分配问题等。

匈牙利算法的基本思路是通过在原问题中引入增广路径来不断改进当前解，最终找到一个最优解。增广路径是指一条从源点到汇点的路径，其上的权值之和最小。通过不断寻找增广路径，我们可以逐步改进当前解，直到找到最优解。

以下是匈牙利算法的Python实现示例：

def hungarian(matrix):
    n = len(matrix)
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if matrix[i][j] == 0 and min(matrix[i][:k+1]) > max(matrix[j][k+1:]):
                    matrix[i][j] = min(matrix[i][:k+1]) - max(matrix[j][k+1:])
                    for l in range(n):
                        if matrix[i][j] == min(matrix[i][:k+1]) - max(matrix[j][k+1:]):
                            matrix[i][l] = float('inf')
                            break
                    for l in range(n):
                        if matrix[i][j] == min(matrix[i][:k+1]) - max(matrix[j][k+1:]):
                            matrix[j][l] = float('-inf')
                            break
    return matrix

在这个示例中，我们使用一个二维矩阵来表示问题，矩阵中的元素表示两个实体之间的代价。算法通过不断寻找增广路径来更新矩阵中的元素，最终返回一个最优解矩阵。在实际应用中，我们可以根据问题的具体要求对算法进行适当的修改和优化。

二、Hopcroft-Karp算法

Hopcroft-Karp算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的经典算法。它可以在多项式时间内找到二分图的最大匹配数，适用于诸如电路板排列、生物信息学等问题。

Hopcroft-Karp算法的基本思路是通过使用BFS（广度优先搜索）和DFS（深度优先搜索）来寻找增广路径，并逐步构建最大匹配。增广路径是指一条从源点到汇点的路径，其上的权值之和最小。通过不断寻找增广路径，我们可以逐步增加匹配的数量，最终找到最大匹配数。

以下是Hopcroft-Karp算法的Python实现示例：

```python
def hopcroft_karp(graph):
n = len(graph) // 2 # 顶点数的一半，即两个集合的节点数总和
match = [-1] n # 初始化匹配关系为-1，表示没有匹配上
dist = [0] n # 初始化距离为0，表示起点到各节点的距离为0
queue = [] # 初始化队列为空队列
for i in range(n): # 将所有左节点加入队列，并标记距离为0
queue.append((i, 0))
while queue: # 当队列不为空时继续循环
u, d = queue.pop(0) # 出队一个节点u和距离d
for v, w in graph[u]: # 遍历节点u的所有邻接右节点v和边w
if match[v] == -1 and dist[v] < d + w: # 如果v未匹配且从u到v的距离小于当前距离，则更新距离为d+w
dist[v] = d + w # 更新距离为d+w
queue.append((v, dist[v])) # 将v加入队列并标记距离为d+w
elif match[v] != -1 and dist[