极限学习机（Extreme Learning Machine）：从原理到程序实现

极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM）是一种单隐藏层前馈神经网络（Single-hidden Layer Feedforward Neural Networks，SLFNs）。与传统的多层感知器（Multilayer Perceptron，MLP）相比，ELM具有更快的训练速度和良好的泛化性能。

一、ELM基本原理

ELM的基本思想是通过对输入权重和偏置进行随机赋值，使得输出层的权重向量通过最小二乘法求解得到。假设有一个训练集{（x1, t1）, （x2, t2）, …, （xm, tm）}，其中输入向量xi∈Rn，目标向量ti∈Rl。ELM试图找到一个隐藏层节点数目为N的SLFNs，使得对于任意的i，有：

hi(xi)T−ti=0hi(xi)T−ti=0hi(xi)T−ti=0

其中hi(xi)是第i个样本经过隐藏层后的输出向量。

二、数学推导

假设我们有一个N个节点的隐藏层，则隐藏层输出矩阵H是一个N×m矩阵，其中每一行hi是一个向量。目标向量T可以表示为H的线性组合，即T=Hβ，其中β是输出权重向量。通过最小化残差平方和（RSS）来求解β：

RSS=∑i=1m(hi(xi)T−ti)2RSS=∑i=1m(hi(xi)T−ti)2RSS=∑i=1m(hi(xi)T−ti)2

通过最小化RSS，我们可以得到β的解：

β=(HTH)−1HTTβ=(HTH)−1HTTβ=(HTH)−1HTT

其中HTH是隐藏层输出矩阵H的转置与H的乘积。由于H中的每一行都是随机生成的，因此HTH是一个正定矩阵，其逆存在。

三、Python实现

以下是一个使用Python和Scikit-learn库实现ELM的简单示例代码：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import Single崇层感知器崇层感知器感知器 as S感知器崇层感知器崇层感知器感知器 崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器崇层感知器 感器