线性回归：损失函数与优化算法

线性回归是一种常用的回归分析方法，用于探索变量之间的关系。在机器学习中，线性回归通过拟合一条直线来预测因变量的值，使得预测值与真实值之间的误差最小化。为了实现这一目标，我们需要选择适当的损失函数，并使用优化算法来最小化它。

一、损失函数

损失函数是用来度量模型预测值与真实值之间误差的函数。对于线性回归，常用的损失函数是平方损失函数（也称为均方误差）。平方损失函数的定义为：

L(y, f(x)) = (y - f(x))^2

其中，y是真实值，f(x)是模型预测值。该损失函数度量了预测值与真实值之间的平方差。通过最小化这个损失函数，我们可以得到最佳拟合直线。

除了平方损失函数，还有其他的损失函数可供选择，如绝对损失函数、Huber损失函数等。选择适当的损失函数可以根据具体问题进行调整。

二、优化算法

为了最小化损失函数，我们需要使用优化算法来找到最佳拟合直线。线性回归常用的优化算法有梯度下降法和正规方程法。

1. 梯度下降法

梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断更新模型的参数来最小化损失函数。在每次迭代中，梯度下降法根据当前参数的梯度方向更新参数，使得损失函数值逐渐减小。具体来说，梯度下降法的更新公式为：

θ = θ - α * ∇L(θ)

其中，θ是模型的参数，α是学习率，∇L(θ)是损失函数对参数θ的梯度。通过多次迭代更新参数，梯度下降法最终会收敛到局部最小值或全局最小值。

1. 正规方程法

正规方程法是一种直接求解最优解的方法，通过求解正规方程来得到最佳拟合直线的参数。正规方程法的求解过程相对简单，但它的前提是特征值矩阵X的逆矩阵存在。如果特征值矩阵X的逆矩阵不存在，则无法使用正规方程法求解。

正规方程法的求解过程如下：

• 计算损失函数的梯度向量：▽L(β) = y - Xβ（其中y是目标向量，X是特征矩阵，β是参数向量）。
• 计算梯度向量的转置矩阵：H = ▽L(β)^T。
• 计算正规方程：β = (X^T X)^(-1) X^T * y。
• 通过正规方程得到最佳拟合直线的参数向量：β = (X^T X)^(-1) X^T * y。

在实际应用中，可以根据具体情况选择不同的优化算法来最小化损失函数。梯度下降法通常适用于大数据集和高维特征的情况，而正规方程法适用于小数据集和低维特征的情况。