信息论与编码-曹雪虹-第四章-课后习题答案

在第四章的课后习题中，我们遇到了一个二元信源的例子，其概率分布为P(X=0)=2/12，P(X=1)=10/12。其失真矩阵为D=[0 0; 2 1]。我们需要求解这个信源的最大失真Dmax和最小失真Dmin，以及失真函数R(D)。

首先，我们需要明确信源的失真矩阵的含义。在这个例子中，失真矩阵的左上角是0，意味着当发送0而接收1时，失真量为0；右下角是2，意味着当发送1而接收0时，失真量为2。因此，我们可以看出，对于这个二元信源，当发送0时，接收端总是能正确接收（即失真为0），而当发送1时，接收端总是会错误接收（即失真为2）。

接下来，我们根据失真矩阵可以得出最大失真Dmax和最小失真Dmin。由于当发送1时，接收端的失真总是2，所以Dmax=2。而由于当发送0时，接收端的失真总是0，所以Dmin=0。

最后，我们需要求解失真函数R(D)。失真函数是信源的信息熵和平均互信息量的差值。在这个例子中，信源的信息熵H(X)=-P(X=0)log2P(X=0)-P(X=1)log2P(X=1)=-2/12log2(2/12)-10/12log2(10/12)=1.88bit。平均互信息量为I(X;Y)=H(X)-max{D;H(Y|X)}。由于当D=0时，H(Y|X)=H(X)=1.88bit；当D=2时，H(Y|X)=H(Y|X=1)=-10/12log2(10/12)=1.39bit。所以平均互信息量为I(X;Y)=H(X)-max{D;H(Y|X)}=1.88bit-max{0;1.39bit}=0.49bit。因此，失真函数R(D)=H(X)-I(X;Y)=1.88bit-0.49bit=1.39bit。

综上所述，这个二元信源的最大失真Dmax为2，最小失真Dmin为0，失真函数R(D)为1.39bit。这些结果可以帮助我们更好地理解信息论与编码的相关知识。在未来的学习和实践中，我们可以进一步探索信息论与编码的应用和实现方法，以更好地解决实际问题。