点割集（割点集）与边割集详解

在图论中，点割集和边割集是研究图连通性的重要概念。首先，我们定义一个无向图为，其中V是节点集，E是边集。

一、点割集（割点集）

点割集，也称为割点集，是图中的一个节点子集。如果从这个子集中移除所有节点后，图将不再连通。换句话说，点割集是导致图从连通变为非连通的最小节点集合。具体定义如下：

设无向图G=为连通图，若有点集v1⊂V，使得图G删除了v1的所有节点后（将节点与其关联的边都删除）得到的子图是不连通的，而删除了v1的任何真子集后所得到的子图仍然是连通图，则称v1为G的一个点割集。若某一个节点构成一个点割集，则称该节点为割点。

例如，考虑一个简单的无向图，其中节点A、B、C、D相互连接形成一个环。在这种情况下，任何只包含一个节点的子集（如{A}、{B}、{C}、{D}）都不是点割集，因为删除一个节点不会破坏图的连通性。然而，如果我们将A、B和C节点连接成一个三角形，然后添加一个额外的边将D连接到这个三角形上，那么{D}就是一个点割集，因为移除它会导致图变成非连通。

二、边割集

边割集是图中的一组边的集合，它具有与点割集类似的性质，但是应用于边而不是节点。具体来说，边割集是导致图从连通变为非连通的最小边集合。如果从图中移除边割集的所有边后，图将不再连通。但与点割集不同的是，对于边割集的任何真子集，删除它不会改变图的连通性。

定义如下：边割集E是一些边的集合，如果删除E里的所有边之后G不在连通，但是对于E的任何真子集E1, 删除E1之后G仍然连通，则称E是边割集。

例如，考虑一个简单的无向图，其中节点A、B、C和D相互连接形成一个环。在这种情况下，任何只包含一条边的子集都不是边割集，因为删除一条边不会破坏图的连通性。然而，如果我们将A和B之间的边以及C和D之间的边连接起来，那么任何只包含一条边的子集都将是边割集，因为移除任何一条边都会导致图变成非连通。

总结：点割集和边割集是研究图连通性的重要概念。点割集关注的是在移除节点后如何影响图的连通性，而边割集关注的是在移除边后如何影响图的连通性。通过理解这两种割集的概念和性质，我们可以更好地理解图的连通性和结构特性。