机器学习中的数学：激活函数系列之Sigmoid函数

在机器学习中，激活函数是神经网络中不可或缺的一部分，它赋予了神经网络学习并做出决策的能力。激活函数将神经元的输入映射到输出端，使得神经网络能够模拟复杂的非线性关系。在本系列文章中，我们将深入探讨激活函数的数学原理、特性以及应用场景。今天，我们将从Sigmoid函数开始。
Sigmoid函数是一种常用的激活函数，其数学表达式为：f(x) = 1 / (1 + e^(-x))。这个函数将一个实数映射到0和1之间的概率值，因此常用于二分类问题。
数学特性：

1. 非线性：Sigmoid函数是一种非线性函数，这意味着它能够模拟复杂的非线性关系，这是线性函数所无法做到的。
2. 输出范围：由于其数学特性，Sigmoid函数的输出值落在0和1之间。这意味着对于任何输入x，无论其大小和符号，最终的输出都会被压缩到0和1之间。
3. 可微性：Sigmoid函数是可微的，这意味着在训练神经网络时，可以使用梯度下降等优化算法来更新网络权重。
4. 中心对称：Sigmoid函数是关于其均值（约为0.5）中心对称的。
   应用场景：
5. 二分类问题：由于Sigmoid函数的输出范围是0到1，因此它可以用于解决二分类问题。通过设定一个阈值（如0.5），可以将输出值划分为两个类别。
6. 逻辑回归：在逻辑回归中，Sigmoid函数常被用作激活函数，将线性回归模型的预测结果转化为概率值，从而进行二分类预测。
7. 多层感知机（MLP）：在多层感知机中，Sigmoid函数常被用作隐藏层的激活函数，以增加模型的表达能力。
8. softmax函数的基础：softmax函数是分类问题中常用的激活函数，它可以看作是多个Sigmoid函数的组合。每个Sigmoid函数的输出作为softmax函数的输入，进而得到每个类别的概率分布。
   注意事项：
   尽管Sigmoid函数在某些情况下表现良好，但它也存在一些局限性。首先，当输入值非常大或非常小时，Sigmoid函数的梯度趋近于0，这可能导致在训练过程中出现梯度消失问题。其次，由于Sigmoid函数的输出值总是大于0，这可能会导致模型在学习过程中偏向于正样本。针对这些问题，一些改进的激活函数如ReLU、Tanh等被提出。
   总结：
   Sigmoid函数是一种常用的激活函数，具有非线性、输出范围有限、可微等特性，使得它在机器学习中有着广泛的应用。然而，也存在一些局限性，如梯度消失和偏向于正样本等问题。在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的激活函数。在后续的文章中，我们将继续探讨其他激活函数的数学原理、特性以及应用场景。